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Arithmétique gaussienne entière


Le travail du mathématicien allemand Carl F. Gauss est universel. Gauss a produit avec facilité dans toutes les branches des mathématiques. Il a même fait d'importantes contributions en astronomie, développant une méthode de calcul des orbites des corps célestes à partir d'un petit nombre d'observations. À ce jour, cette méthode est utilisée pour suivre les orbites des satellites. Cependant, le plaisir que j'ai ressenti pour la recherche en arithmétique est notoire. Son œuvre monumentale «Disquisitiones Arithmeticae» a jeté les bases de la théorie moderne des nombres.

En 1825, il a publié un article présentant les nombres complexes comme suit. le + bjele et b sont des entiers et je = (-1)1/2. Cet ensemble est indiqué par Zje et est appelé entier gaussien ou ensemble d'entiers gaussiens en l'honneur de leur créateur.

Gauss a étudié les problèmes liés à la réciprocité bikadratique, c'est-à-dire les relations entre les nombres premiers p et quoi, telle que le cousin quoi étaient le reste du cousin d'un cousin p, x4 = quoi(mod p)quand il a réalisé que la recherche devenait plus simple en travaillant sur Zje. Ainsi, Gauss a étendu l'idée d'entier lors de la définition de Zjeparce qu'il a découvert qu'une grande partie de l'ancienne théorie d'Euclide de la factorisation entière pouvait être transférée à cet ensemble avec des conséquences importantes pour la théorie des nombres.

Cette généralisation de l'ensemble des nombres donne des exemples spéciaux de développements beaucoup plus profonds que nous appelons la théorie des nombres algébriques. Cette théorie est profonde et puissante. En plus de son intérêt et de sa fascination pour ses propres propriétés, il fournit de nombreuses applications à la théorie des nombres qui permettent de comprendre divers phénomènes auparavant obscurs et mystérieux. Par exemple, nous considérons des irrationalités algébriques beaucoup plus générales, c'est-à-dire des racines d'équations algébriques de tous degrés qui dépassent les irrationalités quadratiques.

Discutons de certaines des propriétés arithmétiques des entiers gaussiens. Tout d'abord, nous observons que Zje est un sous-ensemble de C, l'ensemble des nombres complexes. Considérez donc l'ensemble Zje avec les opérations d'addition et de multiplication héritées de C. Autrement dit, si z1 = le + jeb et z 2 = le + jeb donc

z 1 + z 2 = (le + c) + je(b + d)

et

z 1 . z 2 = (le + c) + je(b + d).

L'élément neutre de l'addition est 0 = 0 + 0je, l'élément de multiplication neutre est 1 = 1 + 0je et enfin -1 = -1 + 0je. Toutes les autres propriétés, telles que l'addition et la multiplication associatives, l'addition et la multiplication commutatives, distributives, sont héritées de C. Notez que pour chaque entier non nous avons l'ID non = non + 0jeou encore, non = non. Par conséquent 0 = 0, ±1 = ±1, ±2 = ±2,…

Les problèmes de divisibilité deviennent complexes dans cet ensemble. Notez que l'entier 5 est premier dans Z. Cependant, dans Zje nous avons

(1 + 2je).(1 - 2je) = 1 - 2<>

je + 2je - 4je2 = 1 - 4(-1) = 5.

Puisque tous les nombres premiers premiers ne sont pas des nombres premiers gaussiens, certaines questions se posent naturellement: quels sont les nombres premiers de cet anneau? Y a-t-il des cousins ​​gaussiens infinis? Est-il possible de décomposer des entiers gaussiens en facteurs premiers d'une manière unique, sauf de l'ordre?

Commenter ces questions qui impliquent la notion de divisibilité en Zje, nous devons définir ce qu'est la divisibilité en Zje.

Supposons que x et y sont des entiers gaussiens distincts, où y ¹ 0. Nous disons que y diviser x, et nous indiquons par y çxs'il y a un entier gaussien w tel que x = wy. Par exemple,

(1 + je) ç2, car 2 = (1 + je)(1 - je)

et

(1 + je) ç(1 - je) car 1 + je = je(1 - je).

Notez maintenant que 1 + 2je ne divisez pas 1 - je. Sinon, nous aurions 1 + 2je = (c + dje)(1 - je) où c et d appartiennent à Z. Nous obtenons 1 + 2je = c + d + (d - c)je, c'est-à-dire c + d = 1 et d - c = 2 égalant, respectivement, la partie réelle et la partie imaginaire. En additionnant les deux équations précédentes, nous obtenons 2d = 3. Cependant, d C'est un entier!

Sera la définition de la divisibilité en Zje compatible avec la définition de la divisibilité en Z? Nous voulons savoir, par exemple, s'il est possible 3 de diviser 7 en Zje. La réponse ne pourrait pas être plus significative:

il existe une compatibilité entre la définition de la divisibilité

donnée pour les entiers gaussiens par rapport à la définition donnée pour les entiers.

En fait, supposons que x et y, y ¹ 0, sont des éléments de Z tels que y çx en Zje. Il y a donc w = c + dje en Zje tel que x = wy, c'est-à-dire x = (c + dje)y = cy + teindreje. Bientôt, x = cy et 0 = teindre. Comment y ¹ 0, 0 = teindre implique que d = 0 et donc w = c C'est un entier! Par conséquent x = wy = cy. Nous concluons que si y çx en Zjealors y çx en Z.

Nous savons que 1 et -1 divisent tous les entiers. De même, il est montré que ± 1 et ± je divisez tous les entiers gaussiens. Par conséquent, ± 1 et ± je sont appelés unités d'entiers gaussiens. Si w est une unité des entiers gaussiens et x et y sont des entiers gaussiens tels que x = wy, alors nous disons que x et y sont des éléments associés. Notez que, 1 + je et 1 - je sont des éléments associés car 1 + je = je (1 - je).

Nous pouvons maintenant définir des cousins ​​gaussiens: un entier gaussien x est un cousin gaussien si les seuls diviseurs de x sont leurs associés et les unités de Zje. Par exemple, l'entier 2 pas un cousin en Zjeparce que

<>

je(1 - <>

je)2 = je(1 - 2je + je2) = je(-2je) = -2je2 = <>

2.

Comme indiqué précédemment, il existe de nombreuses propriétés communes aux entiers gaussiens et aux entiers. Nous savons des colonnes précédentes qu'il existe des nombres premiers infinis de forme 4k + 3. À son tour, il est montré que chaque entier premier de la forme 4k + 3 est un cousin gaussien! Il y a donc des cousins ​​gaussiens infinis. Les cousins ​​gaussiens sont précisément:

L'ensemble gaussien 1+ je et leurs associés; les nombres premiers de la forme 4k + 3 et ses membres; et les chiffres à ± bjeoù le2 + b2 est un entier premier de la forme 4k +1,

et ses associés.

On observe que les associés d'un entier gaussien x sont obtenus en multipliant x par ± 1 ou ± je.

Si p = 3 donc p = 3 = 4,0 + 3; bientôt l'ensemble gaussien 3 C'est un cousin gaussien. Si p = 5alors p = 5 = 4.1 + 1 implique que 2 + je et 2 - je et leurs associés sont des cousins ​​gaussiens.

Comme tout entier premier ou de forme 4k + 1 ou forme 4k + 3, nous concluons qu'il existe deux cousins ​​gaussiens correspondant à chaque entier premier de la forme 4k + 1, et un premier gaussien qui correspond à chaque entier premier de la forme 4k + 3. Ainsi, chaque nombre premier gaussien est un facteur d'un entier premier unique. On dit souvent que les cousins ​​de la forme 4k + 3 reste premier à Zjeque les cousins ​​de la forme 4k + 1 décomposer en Zje, et que 2 = -je(1 + je) se ramifie en Zje.

Nous avons observé que jusqu'à présent nous n'avons aucun élément pour comparer les entiers gaussiens par la relation d'ordre connue «<». Supposons que cette définition puisse être étendue aux entiers gaussiens. Nous savons que quelle que soit la définition étendue, nous devrons toujours 0 < 1. Comment je ¹ 0, si l'on suppose je < 0, donc forcément 0 < -je et donc 0 < (-je)2 = -1, ce qui est faux! D'un autre côté, si nous supposons 0 < jealors 0 < je2 = -1, ce qui est également faux!

Pour comparer des entiers gaussiens, nous pouvons définir une fonction de règle avec un domaine en eux qui prend des valeurs dans les naturels N. Par conséquent, nous définissons N d'un entier gaussien x = le + bjepar N(x) = N(le + bje) = le2 + b2. La norme joue un rôle important car, comme nous le savons, les inégalités sont fondamentales dans l'étude des propriétés arithmétiques et algébriques des nombres entiers.

En Zje une division avec reste est très similaire à la division euclidienne définie en nombres entiers:

Soyez x et y entiers gaussiens, avec y ¹ 0. Il y a donc des entiers gaussiens w et z

tel que: x = wy + z, avec N(z) <N(w).

Donc, la division avec le reste en Zje C'est algorithmique. Ce fait nous permet de calculer le plus grand diviseur commun de deux entiers gaussiens non nuls.

Les entiers satisfont à une propriété très importante de la théorie des nombres: la factorisation unique, c'est-à-dire que chaque entier positif est exprimé d'une manière unique, sauf de l'ordre des facteurs, comme le produit de nombres premiers. Les entiers gaussiens satisfont également à cette importante propriété arithmétique, c'est-à-dire qu'ils permettent une décomposition première, et cette décomposition est unique inférieure à l'ordre des facteurs.

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